Tato úloha neprošla kontrolou správnosti.
Limita rekurentně zadané posloupnosti VII
Úloha číslo: 881
Dokažte, že reálné posloupnosti {xn} a {yn} definované vztahy
\[x_1 = a, \ y_1 = b, \qquad x_{n+1} = \sqrt{x_ny_n}, \ y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2}\]mají společnou limitu. Samozřejmě předpokládáme, že a ≥ 0 a b ≥ 0.
Poznámka: Tato limita je tzv. aritmeticko-geometrickým průměrem čísel a a b.
Řešení
Zřejmě se předpokládá, že obě čísla a, b jsou kladné, jinak bude tvrzení těžko platit (posloupnosti by ani nebyly korektně definovány).
Zřejmě platí (pro n ≥ 2), že
\[x_{n} \leq y_{n} \Longleftrightarrow \sqrt{x_{n-1}y_{n-1}} \leq \frac{x_{n-1}+y_{n-1}}{2}.\]To plyne z tzv. AG-nerovnosti pro dvě kladná čísla
\[\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2},\]kterou lze snadno dokázat umocněním a elementárními úpravami.
Odtud ale plyne, že
\[x_{n+1} = \sqrt{x_ny_n} \geq \sqrt{x_nx_n} = x_n\]a naopak
\[y_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2} \leq \frac{y_n+y_n}{2} = y_n.\]Posloupnosti {xn)}, {yn} jsou tedy monotónní (a to ostře, pokud není xn = yn) a podle dokázaných nerovností je zřejmě
\[\min\{a,x_1\} \leq x_2 \leq x_n \leq y_n \leq y_2 \leq \max\{b,x_2\}.\]Tudíž jsou obě omezené, a tudíž konvergentní. Dokážeme, že mají stejnou limitu.
Nechť
\[\lim \ x_n = L_1, \qquad \lim \ y_n = L_2,\]potom musí platit, že
\[\lim y_{n+1} = \lim \frac{x_n+y_n}{2} \implies L_2 = \frac{L_1+L_2}{2} \implies L_1 = L_2.\]
